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However the ingredients that go into the proof ofparts (1) and (2) are exactly the same. EREZ 58 the modules involved except in the abelian case. 2. Ideas for the proof of the Main Theorem Let us go over the proof of part ( 1) of the Main Theorem, that is the one pertaining to the square root of the inverse different A( NI K) (see [E-Tl for more details). One begins by showing that (A( NI K), t N 1K) is loeally everywhere Isometrie to (0 Kr, mr ). ) where ElF is the loeal field extension obtained by choosing any maximal ideal in 0 N above y and A is its Galois group (decompositlon); this isometry is then induced to get an 0 Frisometry.

Let p be a rational prime and let i : Q <-+ QP be an embedding, fixed once and for all. 1) below). Let Xp : Gal( Qj Q) z; be the p-adic cyclotomic character. 3 THEOREM. 2) below). Then there does not exist any abelian variety A dejined over Q such that jor some pair ( n, j) E Z x Z the G1 2 ( QP) representation p f 18> x; is isomorphic to a sub-Gal(Q/Q)-module of Hj(A) 18> QP, where Hj(A) is the j-th p-adic etale cohomology group of A x Q Q . 4. e. x;-twist) of the cohomology of an abelian variety.

N} soit Uk = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) l'eU:ment de composantes sont nulles, sauf 1a k-ieme qui est egale ä 1. 1. - + dkUk = ß E ß zn dont toutes les Soit a: E ß et soit k E {1, ... 3D. D. Soit G n = TI i=l Z/ d;Z et soit H c G le sous-groupe engendre par l'image de a = (a 1 , ... 6_ na}. 'ordre de a dans G et sott v n - = g i=l L: f. = gN. Alors dimn Wy(a) = v = card(ß na). 6. 6. 1. uni de Ia connexion r::y. Wy 181 0 zo f! admet Ia decomposition : = Wy 181 Oz 0 ffi Wy(a) 7iEG/ H De plus, chacun des vecteurs y-M•(ß)tß, (ß Q9 Ozo· f!

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