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By Dominique Foata, mathématicien).; Aimé Fuchs

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On lui fait correspondre la suite d = (d1 < d2 < · · · < dn ), d´efinie par : d1 = c1 ; d2 = c2 + 1 ; d3 = c3 + 2 ; ... ; dn = cn + n − 1. La suite d ainsi form´ee est naturellement strictement croissante. De plus, 1 ≤ d1 < d2 < · · · < dn ≤ p + n − 1. L’application c → d envoie bijectivement l’ensemble des suites croissantes d´ecrites dans l’´enonc´e de la proposition sur l’ensemble des suites strictement croissantes, de longueur n, dont les termes sont pris dans l’intervalle [ p + n − 1 ]. Comme le cardinal de l’ensemble de ces derni`eres suites est ´egal `a p+n−1 d’apr`es le pr´ec´edent corollaire, ce nombre est aussi le nombre des n suites croissantes, de longueur n, dont les termes sont pris entre 1 et p.

Les k boules peuvent ˆetre choisies de kr fa¸cons et les (r − k) boules restantes peuvent ˆetre plac´ees dans les (n − 1) urnes restantes de (n − 1)r−k fa¸cons. On a donc : P(Cik ) = 1 r (n − 1)r−k = r n k r k 1 n k 1− 1 n r−k . 42 ´ DISCRETES. ` ´ CHAPITRE 4 : PROBABILITES DENOMBREMENTS e) Soit A l’´ev`enement parmi m urnes fix´ees `a l’avance, aucune n’est vide (1 ≤ m ≤ n). Pour calculer la probabilit´e de A = Ac1 ∩ · · · ∩ Acm on utilise la formule de Poincar´e : m P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) (−1)k P(A) = 1≤i1 <···

N) suites ordonn´ees (b1 , b2 , . . , bn ), o` est ´egal `a p1 p2 · · · pn . ´ 4. FORMULES CLASSIQUES DE DENOMBREMENT 29 Exemple. — Si on lance une pi`ece de monnaie et un d´e `a six faces, l’ensemble Ω que l’on doit associer a` cette exp´erience suivant les principes du chapitre 1 est le produit cart´esien A × B, o` u A = {pile, face} et B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il est de cardinal 2 × 6 = 12. 4. Formules classiques de d´ enombrement. — Dans ce paragraphe figure une liste d’ensembles finis pour lesquels on connaˆıt des cardinaux explicites.

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