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By Donald Estep, djs² GmbH, S. Thorns

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3) x − 79 ≥ 5 oder x ≥ 84. 3) −(x − 79) ≥ 5 oder (x − 79) ≤ −5 bzw. x ≤ −74. Das Resultat ist daher, dass es f¨ ur alle x mit x ≥ 84 oder x ≤ −74 gilt. Wir k¨ onnen dies schreiben als −(x − 79) ≥ 5 (x − 79) ≤ −5 x ≤ −74 oder oder oder x − 79 ≥ 5 x − 79 ≥ 5 x ≥ 84 . Zum Schluss wollen wir eine wichtige Eigenschaft von | | erw¨ ahnen, die als Dreiecksungleichung bezeichnet wird. 4) ¨ f¨ ur alle rationalen Zahlen a und b. 12 sollen Sie dies beweisen. 7 Die ganzen Zahlen im Computer Da wir den Computer permanent in diesem Kurs gebrauchen, werden wir von Zeit zu Zeit auf einige Eigenschaften der Computerarithmetik hinweisen.

3) gilt f¨ 1+p= (1 − p)(1 + p) 1 − p2 = = 1 + p, 1−p 1−p wobei wir die Formel a2 − b2 = (a − b)(a + b) verwendet haben. Nehmen wir an, sie sei wahr f¨ ur n ersetzt durch n − 1, dann erhalten wir 1 + p + p2 + p3 + · · · + pn−1 = 1 − pn . 1−p Wir addieren pn zu beiden Seiten und erhalten 1 − pn + pn 1−p pn (1 − p) 1 − pn + = 1−p 1−p n+1 1−p , = 1−p 1 + p + p2 + p3 + · · · + pn−1 + pn = womit wir den induktiven Schritt durchgef¨ uhrt haben. 36 3. 2. Die vollst¨andige Induktion kann auch gebraucht werden, um Eigenschaften zu zeigen, die nicht Summen betreffen.

2. Zeigen Sie, dass die folgende Formel f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n gilt, indem Sie vollst¨ andige Induktion benutzen. 1 1 1 n 1 + + + ··· + = . 3. Benutzen Sie vollst¨ andige Induktion um zu zeigen, dass die folgenden Ungleichungen f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n gelten: (a) 3n2 ≥ 2n + 1 (b) 4n ≥ n2 . 5 unterscheidet sich die Anwendung der vollst¨andigen Induktion von denen, welche im Kapitel besprochen wurden. 4. Beweisen Sie, dass 7n −4n ein Vielfaches von 3 ist f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n.

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